Formule sommatoire de Poisson :
Soit \(\varphi\) une fonction à décroissance rapide et \(P\gt 0\)
Alors on a : $${{\sum_{k\in{\Bbb Z}}\varphi(kP)}}={{\frac{\sqrt{2\pi} } P\sum_{n\in{\Bbb Z}}\hat\varphi\left(\frac{2\pi n}P\right) }}$$
(Opération de pliage)
Formule sommatoire de Poisson en convention ordinaire : $${{\sum_{n\in{\Bbb Z}}u(n)}}={{\sum_{k\in{\Bbb Z}}\hat u(k)}}$$
Formule sommatoire de Poisson :
Soit \(\varphi\) \(\in\mathcal C_c^\infty({\Bbb R})\) et \(\hat\varphi\) sa transformée de Fourier en convention angulaire
Alors $${{\sum_{k\in{\Bbb Z}}\varphi(2\pi k)}}={{\frac1{2\pi}\sum_{p\in{\Bbb Z}}\hat\varphi(p)}}$$
(Formule des sauts)
